DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
El
dominio de una relación es el conjunto de pre imágenes; es decir, el conjunto
formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al
conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están
relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo
3
Sea
A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y
R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la
relación.
Solución
El
total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A
x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7),
(1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7),
(3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero
los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En
esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2
bajo R”, dicho de otro modo, “2 es pre imagen de 4”.
Así,
el dominio y rango son:
D =
{2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8}
Según
lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En
el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio
es un subconjunto de A.
Otra
pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La
respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las
relaciones
Los
pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas
sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente
ejemplo.
Ejemplo
4
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9}
y R la relación definida por la
regla
R
= {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Solución
Los
pares ordenados que pertenecen a la
relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R =
{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y
la gráfica correspondiente es la siguiente:
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